Question

10．已知sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的两实根．求：
（1）m的值；
（2）当α∈（0，π）时，求$\frac{1}{tan（3π-α）}$的值；
（3）sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系写出sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinα•cosα=$\frac{m}{5}$，利用同角三角函数的关系，即可求得m的值；
（2）根据同角的基本关系求得tanx的值，利用诱导公式化简，求得原式的值；
（3）根据立方和公式，即可求得sin³α+cos³α的值．

解答 解：（1）sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的两实根．
sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinα•cosα=$\frac{m}{5}$，
sin²α+cos²α=（sinα+cosα）²-2sinαcosα=1
$\frac{1}{25}$-$\frac{2m}{5}$=1
m=-$\frac{12}{5}$，
（2）sinα和cosα是方程25x²-5x-12=0的两实根．α∈（0，π）时，sinα＞0，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，或sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$（舍去），
∴tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{tan（3π-α）}$=$-\frac{1}{tanα}$=$\frac{3}{4}$；
（3）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α+cos²α-sinαcosα），
=（sinα+cosα）（1-sinαcosα），
∵sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，或sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴sin³α+cos³α=$\frac{1}{5}$×（1+$\frac{12}{25}$）=$\frac{37}{125}$．

点评 本题考查韦达定理与求三角求值相结合，诱导公式的应用，属于中档题．