Question

18．已知点A（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{π}{4}$，1），C（$\frac{π}{2}$，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．

解答 解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，
则有sin（ω•$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（ω•$\frac{π}{4}$）=1，sinω•$\frac{π}{2}$≠0，
则$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{3}，或ω=2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{2}≠kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{ω=12k+2，或ω=12k+4，k∈Z}\\{ω=8k+2，k∈Z}\\{ω≠2k，k∈Z}\end{array}\right.$，求得ω无解．
②若只有点A（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{π}{2}$，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，
则有sin（ω•$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（ω•$\frac{π}{2}$）=0，sin（ω•$\frac{π}{4}$）≠1，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{3}，或ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{2}=kπ，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{4}≠2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{ω=12k+2，或ω=12k+4，k∈Z}\\{ω=2k，k∈Z}\\{ω≠8k+2，k∈Z}\end{array}\right.$，求得ω的最小值为4．
③若只有点B（$\frac{π}{4}$，1）、C（$\frac{π}{2}$，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，
则有sinω•$\frac{π}{6}$≠$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinω$\frac{π}{4}$=1，sinω$\frac{π}{2}$=0，
故有$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{2}=kπ，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{6}≠2kπ+\frac{π}{3}，且ω•\frac{π}{6}≠2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{ω=8k+2，k∈Z}\\{ω=2k，k∈Z}\\{ω≠12k+2且ω≠12k+4，k∈Z}\end{array}\right.$，
求得ω的最小正值为10，
综上可得，ω的最小正值为4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．