Question

9．已知sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，cos2x=$\frac{7}{25}$，
（Ⅰ）求$cos（{\frac{7π}{12}-x}）$的值；
（Ⅱ）求$\frac{{sin2x+2{{sin}^2}x}}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知等式利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式化简可得sinx-cosx=$\frac{7}{5}$，两边平方可得sinxcosx=-$\frac{12}{25}$，结合cos2x=$\frac{7}{25}$，利用二倍角的余弦函数公式可求cosx，sinx的值，
由特殊角的三角函数值，两角和与差的余弦函数公式即可化简求值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）cosx，sinx的值，利用同角三角函数基本关系式，倍角公式即可化简求值．

解答 解：（Ⅰ）∵sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
⇒$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx-cosx）=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
⇒sinx-cosx=$\frac{7}{5}$①，
⇒1-2sinxcosx=$\frac{49}{25}$，
⇒sinxcosx=-$\frac{12}{25}$②，
∴由①②可得：cox＜0，
又∵cos2x=2cos²x-1=$\frac{7}{25}$，解得：cosx=-$\frac{4}{5}$，由①可得：sinx=$\frac{3}{5}$，
∴$cos（{\frac{7π}{12}-x}）$
=cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$-x）
=cos$\frac{π}{3}$cos（$\frac{π}{4}$-x）-sin$\frac{π}{3}$sin（$\frac{π}{4}$-x）
=$\frac{1}{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$
=$\frac{7\sqrt{6}-\sqrt{2}}{20}$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosx=-$\frac{4}{5}$，sinx=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{{sin2x+2{{sin}^2}x}}{1-tanx}$=$\frac{2sinxcosx+2si{n}^{2}x}{\frac{cosx-sinx}{cosx}}$=-$\frac{24}{175}$．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，熟练掌握相关公式的应用是解题的关键，属于中档题．