Question

13．已知不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b的值；
（2）解关于x的不等式ax²-（2b-a）x-2b＜0．

Answer 1

分析 （1）根据不等式ax²-3x+2＞0的解集得出对应方程的实数根，再由根与系数的关系求出a、b的值；
（2）把不等式ax²-（2b-a）x-2b＜0化为x²-3x-4＜0，结合对应方程与函数的图象和性质，求出不等式的解集．

解答 解：（1）∵不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴x₁=1、x₂=b是方程ax²-3x+2=0的两个实数根，且a＞0，b＞1；
由根与系数的关系，得$\left\{\begin{array}{l}{1+b=\frac{3}{a}}\\{1×b=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2；
（2）由（1）得，不等式ax²-（2b-a）x-2b＜0可化为x²-3x-4＜0，
∵△=（-3）²-4×1×（-4）=25＞0，
∴方程x²-3x-4=0有两个不相等的实数根x₁=-1、x₂=4；
根据函数y=x²-3x-4的图象开口向上，
可得不等式x²-3x-4＜0的解集为{x|-1＜x＜4}．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了方程与函数的应用问题，是基础题目．