Question

13．甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是p₁，乙射击一次中靶的概率是p₂，且$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是方程x²-5x+6=0的两个实根，已知甲射击5次，中靶次数的方差是$\frac{5}{4}$．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的概率是多少？
（3）若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目的，则完成目的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）甲射击5次，中靶次数k服从二项分布，根据二项分布的方差计算公式Dξ_甲=5p₁ （1-p₁），即可求得p₁，根据韦达定理得$\frac{1}{{p}_{1}}•\frac{1}{{p}_{2}}$=6，可求得p₂的值；
（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，分两种情况讨论，共击中3次的概率，根据n次独立重复实验事件A恰好发生k的概率公式，代入即可求得结果；同理可求出击中4次的概率，这两种情况互斥，根据概率的加法公式即可求得结果；
（3）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，该事件的对立事件为“两人各射击一次，没有中靶”，利用对立事件的概率公式即可求得结果．

解答 解：（1）由题意可知 ξ_甲～B（5，p₁），
∴Dξ_甲=5p₁ （1-p₁）=$\frac{5}{4}$，
∴p₁²-p₁+$\frac{1}{4}$=0，
解得p₁=$\frac{1}{2}$；
又$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是方程x²-5x+6=0的两个实根，
∴$\frac{1}{{p}_{1}}•\frac{1}{{p}_{2}}$=6，
解得p₂=$\frac{1}{3}$．   
（2）两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的两类情况：
①共击中3次概率C₂²（ $\frac{1}{2}$） ² （1-$\frac{1}{2}$）×C₂¹（$\frac{1}{3}$） ¹ （1-$\frac{1}{3}$） ¹+C₂¹（$\frac{1}{2}$） ¹ （$\frac{1}{2}$） ¹×C₂²（$\frac{1}{3}$） ²（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{6}$；
共击中4次概率C₂²（$\frac{1}{2}$） ² （$\frac{1}{2}$）×C₂²（$\frac{1}{3}$） ² （$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{36}$． 
∴所求概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{36}$=$\frac{7}{36}$．  
（3）设事件A，B分别表示甲、乙能击中．
∵A，B互相独立，
∴P（$\overline{A}$•$\overline{B}$ ）=P（$\overline{A}$） P（$\overline{B}$）=（1-P（A） ）（1-P（B） ）=（1-p₁）（1-p₂）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
∴“两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的”的概率为：1-P（$\overline{A}$•$\overline{B}$）=$\frac{2}{3}$．

点评 这一类型的试题在连续几年的高考卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想，体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明，属中档题．