Question

16．已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），$\sqrt{4-{a}_{n}^{2}}$+a${\;}_{n+1}^{2}$=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，写出a_n（不用证明）；
（2）①当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，证明sinx＜x；
②若θ=$\frac{π}{4}$，证明a₁+a₂+…+a_n＜π．

Answer 1

分析 （1）a₁=2sinθ，由$\sqrt{4-{{a}_{1}}^{2}}$+a₂²=2及三角恒等变换公式可得a₂=2sin$\frac{θ}{2}$，同理求得a₃=2sin$\frac{θ}{4}$；从而写出a_n=2sin$\frac{θ}{{2}^{n-1}}$；
（2）①利用三角函数的定义证明；
②化简a₁+a₂+…+a_n=2sin$\frac{π}{4}$+2sin$\frac{π}{8}$+2sin$\frac{π}{16}$+…+2sin$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$，从而利用放缩法证明．

解答 解：（1）a₁=2sinθ，
∵$\sqrt{4-{{a}_{1}}^{2}}$+a₂²=2，
即2cosθ+a₂²=2，
故a₂²=2-2cosθ=4sin²$\frac{θ}{2}$，
故a₂=2sin$\frac{θ}{2}$，
同理可得，a₃=2sin$\frac{θ}{4}$；
故a_n=2sin$\frac{θ}{{2}^{n-1}}$；
（2）①证明：如右图，
由三角函数的定义知，sinx=MP，x=$\widehat{AP}$，
∵MP＜$\widehat{AP}$，
∴sinx＜x；
②证明：∵θ=$\frac{π}{4}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=2sin$\frac{π}{4}$+2sin$\frac{π}{8}$+2sin$\frac{π}{16}$+…+2sin$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$
=2（sin$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{8}$+sin$\frac{π}{16}$+…+sin$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$）
＜2（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{8}$+$\frac{π}{16}$+…+$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$）
=2$\frac{\frac{π}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=π（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜π．

点评 本题考查了数列递推关系的应用及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想与归纳法的应用．