Question

7．“函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是单调递增函数”是“函数g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是单调递增函数”的既不充分也不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

Answer 1

分析 由于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是单调递增函数，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{2（a-1）+2≥{a}^{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$．函数g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是单调递增函数，$\frac{a}{2}≤1$，1-a+1＞0，解出即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是单调递增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{2（a-1）+2≥{a}^{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
函数g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是单调递增函数，$\frac{a}{2}≤1$，1-a+1＞0，解得a＜2．
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是单调递增函数”是“函数g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是单调递增函数”的既不充分也不必要条件．
故答案为：既不充分也不必要．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的解法及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．