Question

17．设函数y=x²-4px-2的图象经过M（tanα，1），N（tanβ，1）两点．求2cos2αcos2β+psin2（α+β）+2sin²（α-β）的值．

Answer 1

分析 利用积化和差以及二倍角公式，化简2cos2αcos2β，化简所求的表达式，利用已知条件求出αβ的正切函数，
利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．

解答 解：因为2cos2αcos2β=cos2（α+β）+cos2（α-β）
=1-2sin²（α+β）+1-2sin²（α-β）
则2cos2αcos2β+psin2（α+β）+2sin²（α-β）
=2-2sin²（α+β）+psin2（α+β）
=2-2sin²（α+β）+2psin（α+β）cos（α+β）
因为函数y=x²-4px-2的图象经过M（tanα，1），N（tanβ，1）两点．
可得1=tan²α-4ptanα-2
1=tan²β-4ptanβ-2
所以tanα，tanβ是x²-4px-3=0的两根
tanα+tanβ=4p
tanαtanβ=-3，
又tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{4p}{1-（-3）}$=p，
所以2-2sin²（α+β）+2psin（α+β）cos（α+β）
=2-2sin²（α+β）+2tan（α+β）sin（α+β）cos（α+β）
=$\frac{2co{s}^{2}（α+β）+2psin（α+β）cos（α+β）}{si{n}^{2}（α+β）+co{s}^{2}（α+β）}$
=$\frac{2+2ptan（α+β）}{ta{n}^{2}（α+β）+1}$
=$\frac{2+2{p}^{2}}{{p}^{2}+1}$
=2．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，积化和差公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．