Question

8．求下列函数的值域：
（1）y=x²+2x，x∈[0，3]；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}$；
（3）y=log₃x+log_x3-1．

Answer 1

分析 （1）配方即可求出该二次函数在闭区间[0，3]上的最大、最小值，从而得出该函数的值域；
（2）可讨论x²-x=0，和x²-x≠0两种情况，而x²-x≠0时，原函数变成$y=\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$，而配方可求出x²-x的范围，进而求出$\frac{1}{{x}^{2}-x}$的范围，最后便可得出y的范围，即该函数的值域；
（3）换底公式可将原函数变成$y=lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$，而由基本不等式即可求出$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}$的范围，进而即可求出y的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：（1）y=x²+2x=（x+1）²-1；
∵x∈[0，3]；
∴x=0时，y取最小值0，x=3时，取最大值15；
∴该函数的值域为[0，15]；
（2）①若x²-x=0，则y=0；
②若x²-x≠0，$y=\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}}$；
∵$-\frac{1}{4}≤（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}＜0$，或$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}＞0$；
∴$\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}≤-4$，或$\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}＞0$；
∴$-\frac{1}{3}≤\frac{1}{1+\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}}＜0$，或$0＜\frac{1}{1+\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}}＜1$；
∴$-\frac{1}{3}≤y＜0$，或0＜y＜1；
∴综上得，该函数的值域为$[-\frac{1}{3}，1）$；
（3）y=log₃x+log_x3-1=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$；
①若log₃x＞0，则$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≥2$，当log₃x=1，即x=3时取等号；
∴y≥1；
②若log₃x＜0，则$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}=-[（-lo{g}_{3}x）+\frac{1}{-lo{g}_{3}x}]$≤-2，当log₃x=-1，即x=$\frac{1}{3}$时取等号；
∴y≤-3；
∴综上得，该函数的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评 考查配方求二次函数值域的方法，根据不等式的性质求函数值域的方法，以及基本不等式在求函数值域中的应用，对数的换底公式，应用基本不等式时注意所具备的条件，以及判断等号是否取到．