Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-$\frac{1}{a_n}$，设c=$\frac{5}{2}，{b_n}=\frac{1}{{{a_n}-2}}$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a_n+1=c-$\frac{1}{a_n}$，$c=\frac{5}{2}$，可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}-2}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}-2}}=\frac{4}{{{a_n}-2}}+2$，于是b_n+1=4b_n+2．变形为${b_{n+1}}+\frac{2}{3}=4（{b_n}+\frac{2}{3}）$，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=c-$\frac{1}{a_n}$，$c=\frac{5}{2}$，
∴${a_{n+1}}-2=\frac{5}{2}-\frac{1}{a_n}-2=\frac{{{a_n}-2}}{{2{a_n}}}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}-2}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}-2}}=\frac{4}{{{a_n}-2}}+2$，
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，
∴b_n+1=4b_n+2．
变形为${b_{n+1}}+\frac{2}{3}=4（{b_n}+\frac{2}{3}）$，
又${a_1}=1，故{b_1}=\frac{1}{{{a_1}-2}}=-1$，
∴$（{b_n}+\frac{2}{3}）$是首项为$-\frac{1}{3}$，公比为4的等比数列，
∴${b_n}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}×{4^{n-1}}$，
∴${b_n}=-\frac{{{4^{n-1}}}}{3}-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．