Question

18．在直角坐标系xOy中，动点M到F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0）的距离之和是4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过点P（3，0）的直线l与轨迹C交于点A、B，问是否存在定点Q，使得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$为定值？若存在，求出点Q的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义进行求解即可．
（2）设直线方程，联立直线和椭圆方程，利用设而不求的数学思想进行化简求解即可．

解答 解：（1）由题意知曲线C为以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）为焦点的椭圆，
且c=$\sqrt{3}$，a=2，∴b²=1，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意知l的斜率k存在且不为0时，假设存在定点Q（m，n），使$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$为常数，
设直线l的方程为 y=k（x-3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则n=k（m-3）
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得 （1+4k²） x²-24k²x+36k²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{24{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{36{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，y₁•y₂=k（x₁-3）•k（x₂-3）=$\frac{5{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
则$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=（x₁-m，y₁-n）•（x₂-m，y₂-n）
=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=$\frac{36{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-m•$\frac{24{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²+$\frac{5{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+n•$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$+n²
=$\frac{（41-24m）{k}^{2}+6nk-4}{1+4{k}^{2}}$+m²+n²，为常数，与k无关，
即$\left\{\begin{array}{l}{6n=0}\\{41-24m=-16}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{m=\frac{19}{8}}\end{array}\right.$，
此时，$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=-4+（$\frac{19}{8}$）²=$\frac{105}{64}$，即Q（$\frac{19}{8}$，0）．
综上，存在定点Q（$\frac{19}{8}$，0）．使得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=$\frac{105}{64}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系、向量数量积运算，考查运算求解能力，熟练运用韦达定理是及解决相关问题的基础