Question

7．已知数列{a_n}满足条件a_n+1=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$．
（1）若a₁=$\frac{1}{2}$，求a₂，a₃，a₄的值．
（2）已知对任意的n∈N₊，都有a_n≠1，求证：a_n+3=a_n对任意的正整数n都成立；
（3）在（1）的条件下，求a₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足条件a_n+1=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$，a₁=$\frac{1}{2}$，分别令n=1，2，3，即可得出．
（2）由于${a_{n+1}}=\frac{1}{{1-{a_n}}}$，利用递推公式可得：a_n+2=$\frac{1-{a}_{n}}{-{a}_{n}}$，a_n+3=a_n．
（3）由前面的结论，可得a₂₀₁₅=a_671×3+2=a₂．

解答 （1）解：由数列{a_n}满足条件a_n+1=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$，a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，同理可得：a₃=-1，a₄=$\frac{1}{2}$．
（2）证明：∵${a_{n+1}}=\frac{1}{{1-{a_n}}}$，
∴${a_{n+2}}=\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{1-\frac{1}{{1-{a_n}}}}}=\frac{{1-{a_n}}}{{1-{a_n}-1}}=\frac{{1-{a_n}}}{{-{a_n}}}$，
∴${a_{n+3}}=\frac{1}{{1-{a_{n+2}}}}=\frac{1}{{1-\frac{{1-{a_n}}}{{-{a_n}}}}}=\frac{{-{a_n}}}{{-{a_n}-（{1-{a_n}}）}}={a_n}$．
即a_n+3=a_n对任意的正整数n都成立；
（3）解：由前面的结论，可得a₂₀₁₅=a_671×3+2=a₂=2．

点评 本题考查了递推公式、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．