Question

17．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有（f（a）+f（b））（a+b）＞0成立，且f（1）=3．
（1）判断f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）；
（3）若f（x）+3≥-m²-2tm对所有的x∈[-1，1]，t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数的关系，结合函数单调性的定义进行证明．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系进行求解即可．
（3）根据不等式恒成立，利用参数分离法进行转化求解．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴（f（a）+f（b））（a+b）＞0等价为[f（a）-f（-b）][a-（-b）]＞0，
令x₁=a，x₂=-b，
则不等式等价为[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0，
则函数f（x）在区间[-1，1]上的单调递增．
（2）∵函数f（x）在区间[-1，1]上的单调递增，
∴不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）等价为$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤\frac{1}{x-1}≤1}\\{x+\frac{1}{2}≤\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$；即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x≥2或x≤0}\\{\frac{（x+1）（2x-3）}{2（x-1）}≤0}\end{array}\right.$得$-\frac{3}{2}$≤x≤-1，
即不等式的解集为[$-\frac{3}{2}$，-1]．
（3）∵函数f（x）在区间[-1，1]上的单调递增．
∴函数的最小值为f（-1）=-f（1）=-3，
若f（x）+3≥-m²-2tm对所有的x∈[-1，1]，t∈[-1，1]恒成立，
则-3+3≥-m²-2tm对t∈[-1，1]恒成立，
即2mt+m²≥0，
设g（t）=2mt+m²，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（-1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥0或m≤-2}\\{m≥2或m≤0}\end{array}\right.$
即m=0或m≥2或m≤-2，
则求实数m的取值范围m=0或m≥2或m≤-2．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用函数单调性的定义以及函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．