Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=2，c=$\sqrt{2}$，cosA=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．则b的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数基本关系可得sinA，再由正弦定理可得sinC，进而可得cosC，可得cosB，由余弦定理可得．

解答 解：∵在△ABC中a=2，c=$\sqrt{2}$，cosA=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
由正弦定理可得sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{3}{4}$，
∴cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC
=$\frac{\sqrt{14}}{4}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$-（-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$）×$\frac{3}{4}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴由余弦定理可得b=$\sqrt{4+2-2×2×\sqrt{2}×\frac{5\sqrt{2}}{8}}$=1，
故选：A．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和和差角的三角函数公式，属中档题．