Question

6．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与X轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$．若M（$\frac{2π}{3}$，-2）为图象上一个最低点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）图象的对称轴方程和对称中心坐标．
（3）求f（x）的单减区间．

Answer 1

分析 （1）由题意求得周期，由周期公式求得ω，结合M（$\frac{2π}{3}$，-2）为图象上一个最低点求得A和φ；
（2）直接由相位的终边在y轴及x轴上求函数y=f（x）图象的对称轴方程和对称中心坐标；
（3）由由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）即可求得f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）由题意知$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，∴T=π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，故ω=2，
又A=2且，2sin（2×$\frac{2π}{3}$x+φ）=-2
φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数解析式是f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
即函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
令2x+$\frac{π}{6}$=π+kπ，得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数y=f（x）图象的对称中心坐标为（$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z；
（3））由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）得，kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z）．
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数图象的求法，考查了三角函数的性质，训练了函数值域的求法，是中档题．