Question

2．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{2m}$+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}$=1的离心率$e∈（1，\sqrt{3}）$，若p、q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用椭圆与双曲线的标准方程及其性质分别可得m的取值范围，由于p、q有且只有一个为真，可知：p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：将方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$改写为$\frac{x^2}{2m}+\frac{y^2}{1-m}=1$，
只有当1-m＞2m＞0，即$0＜m＜\frac{1}{3}$时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于$0＜m＜\frac{1}{3}$；
因为双曲线$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率$e∈（1，\sqrt{3}）$，
所以m＞0，且1$＜\frac{5+m}{5}＜3$，解得0＜m＜10，
所以命题q等价于0＜m＜10； 
若p真q假，则m∈∅；
若p假q真，则$\frac{1}{3}≤m＜10$
综上：m的取值范围为$\frac{1}{3}≤m＜10$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．