Question

14．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x）．若区间（a，b）上f″（x）＞0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”；已知f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（2，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [1，$\frac{23}{9}$]
• C． （-∞，-3]
• D． （-∞，$\frac{23}{9}$]

Answer 1

分析 利用导数的运算法则可得f′（x），f″（x）．由于函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，可得：在区间（a，b）上f″（x）＞0恒成立，解得即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{4}$x⁴-$\frac{1}{3}$mx³-4x，f″（x）=x³-mx²-4，
∵f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（2，3）上为“凹函数”，
∴在（2，3）上，f″（x）＞0恒成立，
∴x³-mx²-4＞0，
∴m＜x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
设g（x）=x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴g′（x）=1+$\frac{8}{{x}^{3}}$＞0在（2，3）上恒成立，
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴g（2）=2-$\frac{4}{{2}^{2}}$=1，g（3）=3-$\frac{4}{{3}^{2}}$=$\frac{23}{9}$
∴1＜g（x）＜$\frac{23}{9}$
∴m≤1，
故选：A．

点评 本题考查了“凹函数”的定义及其性质、导数的运算法则、恒成立问题的等价转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．