Question

14．在△ABC中，已知BC=4，AC=3，cos（A-B）=$\frac{3}{4}$，则△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意得到∠BAC大于∠B，如图所示，作AD，使∠BAD=∠B，得到∠DAC=∠BAC-∠B，设AD=BD=x，则DC=4-x，在△ADC中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解，得到x的值，确定出AD与DC的长，在三角形ADC中，利用余弦定理即可求出cosC的值，可得sinC的值，从而求得△ABC面积是$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC的值．

解答 解：△ABC中，BC=4，AC=3，cos（A-B）=$\frac{3}{4}$，
∴A＞B，（A-B）为锐角，
如图，作AD，使∠BAD=∠B，则∠DAC=∠BAC-∠B，
即cos∠DAC=cos（∠BAC-∠B）=$\frac{3}{4}$．
设AD=BD=x，则DC=4-x，
在△ADC中，由余弦定理得：CD²=AD²+AC²-2AD•AC•cos∠DAC，
即（4-x）²=x²+9-2x×3×$\frac{3}{4}$，
解得：x=2，
∴AD=2，DC=2，
在△ADC中，由余弦定理得cosC=$\frac{A{C}^{2}+D{C}^{2}-A{D}^{2}}{2AC•CD}$=$\frac{{3}^{2}+{2}^{2}-{2}^{2}}{2×3×2}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故△ABC面积是：$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$×3×4×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
故答案是：$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．