Question

1．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且正实数λ，μ满足（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$λ\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$μ\overrightarrow{b}$）=0，则|$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\sqrt{2}$，2）．

Answer 1

分析 根据题意，设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），利用（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$λ\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$μ\overrightarrow{b}$）=0求出λ与μ的关系，再求|$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow{b}$|的取值范围即可．

解答 解：单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$λ\overrightarrow{a}$=（1-λ，1），
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$μ\overrightarrow{b}$=（1，1-μ），
又（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$λ\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$μ\overrightarrow{b}$）=0，
∴（1-λ）+（1-μ）=0，
∴λ+μ=2，且λ∈（0，2），
∴$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow{b}$=（λ，-μ），
∴|$λ\overrightarrow{a}$-$μ\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{λ}^{2}{+μ}^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}{+（2-λ）}^{2}}$=$\sqrt{{2λ}^{2}-4λ+4}$=$\sqrt{{2（λ-1）}^{2}+2}$，
又λ=1时，$\sqrt{{2（λ-1）}^{2}+2}$有最小值$\sqrt{2}$，且$\sqrt{{2（λ-1）}^{2}+2}$＜2；
∴|λ$\overrightarrow{a}$-μ$\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\sqrt{2}$，2）．
故答案为：[$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了向量的模长与函数的求值范围问题，是综合性题目．