Question

13．已知函数f（x）=e^x-ax²-2x-1（x∈R）．
（I）若f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，且直线l在y轴上的截距为-2，求a的值；
（Ⅱ）求证：对任意实数a＜0，都有f（x）＞$\frac{{a}^{2}-a+1}{a}$．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，运用两点斜率公式，计算即可得到a=-1；
（Ⅱ）原不等式即为e^x＞ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$，运用指数函数的值域和二次函数的判别式小于0，即可得到证明．

解答 解：（I）函数f（x）=e^x-ax²-2x-1的导数为f′（x）=e^x-2ax-2，
可得切线的斜率f′（1）=e-2a-2，又f（1）=e-a-3，
直线l过（0，-2），可得e-a-1=e-2a-2，
解得a=-1：
（Ⅱ）证明：f（x）＞$\frac{{a}^{2}-a+1}{a}$即为
e^x-ax²-2x-1＞a+$\frac{1}{a}$-1，即有e^x＞ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$，
由e^x＞0，y=ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$，a＜0，
△=4-4a（a+$\frac{1}{a}$）=4-4a²-4=-4a²＜0，
即有y＜0恒成立，
则e^x＞ax²+2x+a+$\frac{1}{a}$成立．
故原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式的证明，注意运用转化思想，运用指数函数的值域和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．