Question

9．已知奇函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（1）=1，若函数f（x）≥t²-4at-1对所有的x∈[-1，1]都存在a∈[-1，1]使不等式成立，则实数t的取值范围是{0}}．

Answer 1

分析 由f（1）=1得f（-1）=-1，f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，只需要f（x）的最小值大于或等于t²-4at+1即可．再利用二次函数的性质求得t的范围．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，且在[-1，1]是单调增函数，又f（1）=1，∴f（-1）=-1，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]．
若函数f（x）≥t²-4at-1对所有的x∈[-1，1]都成立，由已知易得f（x）的最小值是-1，
∴-1≥t²-4at-1，等价于t²-4at≤0．
设g（a）=t²-4at（-1≤a≤1），
欲使 t²-4at≤0恒成立，则 $\left\{\begin{array}{l}{g（-1）{=t}^{2}+4t≤0}\\{g（1）{=t}^{2}-4t≤0}\end{array}\right.$，求得t=0，
故答案为：{0}．

点评 本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知结合函数的奇偶性与单调性判断出当x∈[-1，1]时，函数f（x）值域，是解答本题的关键，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．