Question

14．关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|（x∈R），有如下结论：
①函数f（x）的周期是$\frac{π}{2}$；
②函数f（x）的值域是[0，$\sqrt{2}$]；
③函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称；
④函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）上递增．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据三角函数的图象关系，将函数f（x）表示为分段函数形式，作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．

解答 解：当2kπ≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
当2kπ+$\frac{π}{2}$＜x≤2kπ+π，k∈Z，f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
当2kπ+π＜x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，f（x）=-sinx-cosx=-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
当2kπ+$\frac{3π}{2}$＜x≤2kπ+2π，k∈Z，f（x）=-sinx+cosx=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
作出函数f（x）的图象如图：

①函数f（x）的周期是$\frac{π}{2}$；正确，故①正确，
②函数f（x）的值域是[1，$\sqrt{2}$]；故②错误
③函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称；正确，故③正确，
④函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）上递增．正确，故④正确，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质将函数表示成分到函数形式，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．