Question

9．在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作CE⊥AB于E，推出CE⊥平面PAB，然后证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连AC，推出CD⊥AC，得到CD⊥平面PAC，作BG⊥AC于G，GH⊥PC于H，连BH，所求的二面角为90°+∠BHG，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：作CE⊥AB于E∵∠BAD=120°，∴CE与AD必相交，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥PA
又PA⊥AD，∴PA⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）连AC，
由已知得AC=2，∠CAD=60°，
从而$CD=2\sqrt{3}$，∴CD⊥AC
又PA⊥CD，∴CD⊥平面PAC，
从而平面PCD⊥平面PAC
作BG⊥AC于G，GH⊥PC于H，连BH，
设则所求的二面角为90°+∠BHG，$BG=\sqrt{3}$，CG=1，$GH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$BH=\frac{{\sqrt{14}}}{2}$
∴$cos（{90°}+∠BHG）=-sin∠BHG=-\frac{{\sqrt{42}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，二面角的平面镜的求法，考查空间想象能力以及计算能力．