Question

1．已知M（-2$\sqrt{2}$，0），N（2$\sqrt{2}$，0）为椭圆的左、右顶点，P是椭圆上异于M，N的动点，且△PMN的面积最大值为4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）四边形ABCD的顶点都在椭圆上，且对角线AC，BD过原点，k_AC•k_BD=-$\frac{b^2}{a^2}$，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M（-2$\sqrt{2}$，0），N（2$\sqrt{2}$，0）为椭圆的左、右顶点，P是椭圆上异于M，N的动点，且△PMN的面积最大值为4$\sqrt{2}$，求出a，b，由此能求出椭圆方程及离心率．
（Ⅱ）设l_AB：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=8}\end{array}}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、椭圆性质，结合已知条件能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵M（-2$\sqrt{2}$，0），N（2$\sqrt{2}$，0）为椭圆的左、右顶点，P是椭圆上异于M，N的动点，且△PMN的面积最大值为4$\sqrt{2}$．
∴由题意知，$a=2\sqrt{2}$，又因为△PMN的面积最大值为$4\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{2}2ab=4\sqrt{2}$，
解得b=2，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（5分）
（Ⅱ）设l_AB：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=8}\end{array}}\right.$，消去y并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，…（7分）
∴${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）=\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$…（8分）
∵${k_{OA}}•{K_{OB}}=-\frac{b^2}{a^2}$，∴$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=-\frac{1}{2}•\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，解得m²=4k²+2，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=2-\frac{4}{{1+2{k^2}}}$，
∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＜2$…（10分）
．当k=0时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$取最小值-2，
当k不存在，即AB⊥x轴时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$取最大值2，
∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程及离心率的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．