Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x₀的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）由函数图象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函数过点（$\frac{13π}{12}$，2），结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$，可解得x₀=kπ-$\frac{π}{24}$，k∈Z，又结合范围$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{4}$＜x₀＜$\frac{13π}{12}$，从而可求x₀的值．
（II）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可求范围2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值．

解答 （本小题满分13分）
解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=2[x₀-（x₀-$\frac{π}{2}$）]=π，解得ω=2，
又∵函数过点（$\frac{13π}{12}$，2），可得：2=2sin（2×$\frac{13π}{12}$+φ），解得：2×$\frac{13π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴可得：φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵由函数图象可得：2sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$，解得：2x₀+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，可得：x₀=kπ-$\frac{π}{24}$，k∈Z，
又∵$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{4}$＜x₀＜$\frac{13π}{12}$，
∴x₀=$\frac{23π}{24}$，…（7分）
（II）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（9分）
当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，即x=-$\frac{π}{4}$，f（x）_min=f（-$\frac{π}{4}$）=-1，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{12}$，f（x）_max=f（$\frac{π}{12}$）=2．      …（13分）

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．