某射击游戏规则如下:①射手共射击三次:,②首先射击目标甲,③若击中.则继续射击该目标.若未击中.则射击另一目标,④击中目标甲.乙分别得2分.1分.未击中得0分．已知某射手击中甲.乙目标的概率分别为$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}$.且该射手每次射击的结果互不影响．(Ⅰ)求该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率,(Ⅱ)记该射手所得分数为X.求X的分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．某射击游戏规则如下：①射手共射击三次：；②首先射击目标甲；③若击中，则继续射击该目标，若未击中，则射击另一目标；④击中目标甲、乙分别得2分、1分，未击中得0分．已知某射手击中甲、乙目标的概率分别为$\frac{1}{2}，\frac{3}{4}$，且该射手每次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率；
（Ⅱ）记该射手所得分数为X，求X的分布列和数学期望EX．

分析（Ⅰ）分别记“该射手击中目标甲、乙”为事件A，B，“连续两次击中目标且另一次未击中目标”为事件C，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，由事件的独立性和互斥性，由此能求出该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答解：（Ⅰ）分别记“该射手击中目标甲、乙”为事件A，B，
“连续两次击中目标且另一次未击中目标”为事件C，
则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，
由事件的独立性和互斥性，得：
P（C）=$P（AA\overline{A}+\overline{A}BB）$=$P（A）P（A）P（\overline{A}）$+P（$\overline{A}$）P（B）P（B）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$
=$\frac{13}{32}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，
P（X=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{A}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
P（X=1）=$P（\overline{A}B\overline{B}）$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$，
P（X=2）=P（A$\overline{A}\overline{B}$+$\overline{A}\overline{B}A$+$\overline{A}BB$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=P（$A\overline{A}B$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（X=4）=$P（AA\overline{A}）$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=6）=P（AAA）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

EX=$0×\frac{1}{16}+1×\frac{3}{32}+2×\frac{13}{32}$+3×$\frac{3}{16}$+4×$\frac{1}{8}$+6×$\frac{1}{8}$=$\frac{87}{32}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率的计算公式的合理运用．

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