Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB⊥AD，AD⊥DC．PA⊥底面ABCD，且AB=2，PA=AD=DC=1，M为PC的中点，N在AB上，且BN=3AN．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）求证：MN∥平面PAD；
（3）求三棱锥C-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD得PA⊥CD，又CD⊥AD得CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PDC；
（2）取PD的中点E，连接ME，AE，则可证四边形AEMN是平行四边形，于是MN∥AE，得出MN∥平面PAD；
（3）以三角形BCD为棱锥的底面，则棱锥的高为PA，代入体积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD；
又AD⊥DC，AD?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．
（2）证明：取PD的中点E，连接ME，AE，
∵M，E分别是PC，PD的中点，
∴ME∥CD，且$ME=\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}$，
又AB⊥AD，AD⊥DC，BN=3AN，AB=2，
∴AN∥CD，AN=$\frac{1}{4}AB$=$\frac{1}{2}$，
∴EM∥AN，EM=AN，
∴四边形MEAN为平行四边形，
∴MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（3）解：∵PA⊥底面ABCD，S_△BCD=$\frac{1}{2}×DC×AD$=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
∴V_C-PBD=V_P-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．