Question

8．设y=f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，写出函数f（x）在R上的单调区间．

Answer 1

分析 根据条件f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），周期为4；根据奇函数，得出f（1+x）=f（1-x）．函数关于x=1对称，其关于原点对称，
由有0≤x≤1时，f（x）=x，可画出整个函数图象，结合图象得出函数单调区间．

解答 解：∵由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∵y=f（x）是R上的奇函数，
∴f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
∴f（1+x）=f（1-x）．
故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
又0≤x≤1时，f（x）=x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．

函数f（x）的单调递增区间为[4k-1，4k+1]（k∈Z），
单调递减区间[4k+1，4k+3]（k∈Z）．

点评 本题考查了抽象函数奇偶性和周期性的综合应用，应用数学结合的方法得出函数的单调区间．