Question

3．函数f（x）=4sin³x-sinx+2（sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$）²的最小正周期为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换，将f（x）化简，求得f（x）=-sin3x+2，故可求得函数的最小正周期．

解答 解：f（x）=4sin³x-sinx+2（sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$）²，
=4sin³x-sinx+2（sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$）-4sin$\frac{x}{2}$•cos$\frac{x}{2}$，
=4sin³x-sinx-2sinx+2，
=4sin³x-3sinx+2，
=2sin³x-2sinx+2sin³x-sinx+2
=2sinx（sin²x-1）+sinx（2sin²x-1）+2
=-2sinxcosxcosx-sinxcos2x+2
=-（sin2xcosx+cos2xsinx）+2
=-sin3x+2
∴f（x）的最小正周期为：$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查三角恒等变换、二倍角公式以及利用周期的定义求三角函数的周期，属于中档题．