Question

6．已知f（x）=lnx-ax（a∈R），g（x）=x³-3x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁∈[1，e]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，根据导函数对参数a分类讨论，得出函数的单调区间；
（2）根据g（x）的单调性，可得出x₂∈[0，2]，g（x）=x³-3x∈[-2，2]，要满足题意，只需使x₁∈[1，e]，最小值大于-2，且最大值小于2即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax，
∴f'（x）=$\frac{1}{x}$-a，
当a≤0时，f'（x）≥0，f（x）递增；
递增区间为（0，+∞）
当a＞0时，
 当x＞$\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0，f（x）递减；
 当0＜x＜$\frac{1}{a}$时，f'（x）＞0，f（x）递增；
递增区间为（0，$\frac{1}{a}$），递减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）x₂∈[0，2]，g（x）=x³-3x∈[-2，2]，
∴当a≤0时，
f（1）≥-2，f（e）≤2，
∴-$\frac{1}{e}$≤a≤0；
当a＞0时，
 若$\frac{1}{a}$≤2即a≥$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{a}$）≥-2，f（1）≤2，f（e）≤2，
∴e≥a≥$\frac{1}{2}$；
 若$\frac{1}{a}$＞2即a＜$\frac{1}{2}$，
∴f（1）≤2，f（e）≥-2，
∴0＜a≤$\frac{3}{e}$，
∴a的范围为-$\frac{1}{e}$≤a≤$\frac{3}{e}$或e≥a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用导函数判断函数的单调性和对恒成立问题的理解．