Question

1．已知△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos²$\frac{B}{2}=\sqrt{3}$sinB，a=3c
（Ⅰ）分别求tanC和sin2C的值；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简$2{cos^2}\frac{B}{2}=\sqrt{3}sinB$，可得$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，结合B的范围即可求得$B=\frac{π}{3}$，由a=3c，根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$，根据基本关系式可计算得sinC，cosC的值，利用倍角公式即可求得sin2C的值．
（Ⅱ）由$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，cosB=\frac{1}{2}$，根据余弦定理及题设可解得c，a的值，利用三角形面积公式即可计算求解．

解答 （本题满分为15分）
解：（Ⅰ）∵$2{cos^2}\frac{B}{2}=\sqrt{3}sinB$，
∴$1+cosB=\sqrt{3}sinB$，
∴$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB-\frac{1}{2}cosB）=1$，即：$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∴$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$（舍），即$B=\frac{π}{3}$，…3分
∵a=3c，根据正弦定理可得：sinA=3sinC，
∵sin（B+C）=sinA，
∴$sin（\frac{π}{3}+C）=3sinC$，
经化简得：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC=\frac{5}{2}sinC$，
∴$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$．…7分
根据基本关系式可计算得：$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{7}}}，cosC=\frac{5}{{2\sqrt{7}}}$，
∴$sin2C=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$．…9分
（Ⅱ）∵$B=\frac{π}{3}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，cosB=\frac{1}{2}$，
根据余弦定理及题设可得：$\left\{\begin{array}{l}{b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB\\ b=1\\ a=3c\\ cosB=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：$c=\frac{{\sqrt{7}}}{7}，a=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$，…13分
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{7}}}{7}\frac{{3\sqrt{7}}}{7}\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{28}$．…15分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角函数基本关系式，倍角公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．