Question

若射线OM、ON上分别存在点M₁、M₂与N₁、N₂，则三角形面积之比为·.

    若不在同一平面内的射线OP、OQ和OR上，分别存在点P₁、P₂，点Q₁、Q₂，点R₁、R₂，则类似的结论是什么？

Answer 1

分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.

解:∵=，

其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P₁Q₁、Q₁R₁、P₁R₁、P₂Q₂、Q₂R₂、P₂R₂，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP与面QRO所成的角为θ.OP在面ORQ内的射影为OP′，P₁、P₂的射影分别为P₁′、P₂′，则=sinθ，且.

∴·.

∴类似地有·.

绿色通道

    要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.