Question

（1）设平面内有n条直线（n≥3）其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）=

5

，当n＞4时，f（n）=

(n-2)(n+1)

2

（用n表示）．
（2）如图：若射线OM，ON上分别存在点M₁，M₂与点N₁，N₂，则三角形面积之比

S△OM1N1

S△OM2 N2

=

OM1

OM2

=

ON1

ON2

，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P₁P₂，点Q₁Q₂和点R₁R₂，则

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．

Answer 1

分析：（1）要想求出f（4）的值，我们画图分析即可得到答案，但要求出n＞4时f（n）的值，我们要逐一给出f（3），f（4），…，f（n-1），f（n）然后分析项与项之间的关系，然后利用数列求和的办法进行求解．
（2）由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．

解答：解：（1）如图，4条直线有5个交点，
故f（4）=5，
由f（3）=2，
f（4）=f（3）+3
…
f（n-1）=f（n-2）+n-2
f（n）=f（n-1）+n-1
累加可得f（n）=2+3+…+（n-2）+（n-1）
=

(n-2)(n-1+2)

2

=

(n-2)(n+1)

2

（2）如图，过R₂作R₂M₂⊥平面P₂OQ₂于M₂，连OM₂．过R₁在平面OR₂M₂作R₁M₁∥R₂M₂交OM₂于M₁，
则R₁M₁⊥平面P₂OQ₂．
由 VO-P1Q1R1=

1

3

S△P1OQ1•R₁M₁=

1

3

•

1

2

OP₁•OQ₁•sin∠P₁OQ₁•R₁M₁
=

1

6

OP₁•OQ₁•R₁M₁•sin∠P₁OQ₁，
同理，VO-P2Q2R2=

1

6

OP₂•OQ₂•R₂M₂•sin∠P₂OQ₂．
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•R1M1

OP2•OQ2•R2M2

．
由平面几何知识可得

R1M1

R2M2

=

OR1

OR2

．
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．
故答案为（1）5，

(n-2)(n+1)

2

（2）

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．

点评：本题考查的知识点是推理，其中（1）是归纳推理，根据f（3），f（4），…，f（n-1），f（n）然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键；（2）是类比推理，一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．