Question

f（x）定义在R上的函数，且不恒为零，对任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），则f（x）是（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既奇又偶函数

Answer 1

分析：由已知利用赋值法，令y=0可得，f（0）=1，令x=0，由f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）可得f（y）=f（-y），从而可得f（x）为偶函数

解答：解：∵对任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
令y=x=0
则有2f（0）=2f²（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
若f（0）=0，则由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），可得当y=0时f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0
与已知f（x）定义在R上的函数，且不恒为零矛盾，故f（0）≠0
∴f（0）=1
令x=0
则有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y）
∴f（y）=f（-y）
所以f（x）为偶函数
故选B

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性的判断，解题的关键是灵活应用赋值法进行求解