【题目】如图,在四棱锥中,四边形
为梯形,
,且
,
是边长为2的正三角形,顶点
在
上的射影为点
,且
,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1) 取的中点为
,连接
利用直角三角形的性质,可分别求出
的值,由勾股定理得
.可得
面
,可证平面
平面
;(2)以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过点
作平面
的垂线为
轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出两个半平面的法向量,利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系,可求二面角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)证明:由顶点在
上投影为点
,可知,
.
取的中点为
,连结
,
.
在中,
,
,所以
.
在中,
,
,所以
.
所以, ,即
.
∵
∴面
.
又面
,所以面
面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
,且
所以 面
,且
面
.以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过点
作平面
的垂线为
轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
,
,
,
设平面,
的法向量分别为
,则
,则
,
,则
,
,
所以二面角的余弦值为
.
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【题目】设函数,
.
(1)若曲线与曲线
在它们的交点
处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当时,若函数
在区间
内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3),求函数
在区间
上的最小值.
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【题目】
已知函数f(x)=-bx+lnx(a,b∈R).
(Ⅰ)若a=b=1,求f(x)点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设a<0,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设a<0,且对任意的x>0,f(x)≤f(2),试比较ln(-a)与-2b的大小.
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【题目】某城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.
(1)根据茎叶图,分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值;
(2)规定85分以上(含85分)为优秀企业,若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取一个,求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.
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【题目】某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所,现有一块矩形草坪如下图所示,已知:
米,
米,拟在这块草坪内铺设三条小路
、
和
,要求点
是
的中点,点
在边
上,点
在边
时上,且
.
(1)设,试求
的周长
关于
的函数解析式,并求出此函数的定义域;
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.
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【题目】给出下列四个命题:
①命题“,有
”的否定为:“
”;
②已知向量与
的夹角是钝角,则实数k的取值范围是
;
③函数的单调递增区间是
;
④“”是“直线
和直线
平行”的充分不必要条件;
其中错误命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱
,
为上底面
上的动点,给出下列四个结论中正确结论为( )
A.若,则满足条件的
点有且只有一个
B.若,则点
的轨迹是一段圆弧
C.若∥平面
,则
长的最小值为2
D.若∥平面
,且
,则平面
截正四棱柱
的外接球所得平面图形的面积为
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【题目】A4纸是生活中最常用的纸规格.A系列的纸张规格特色在于:①A0、A1、A2…、A5,所有尺寸的纸张长宽比都相同.②在A系列纸中,前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸,比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸,1张A1纸对裁可以得到2张A2纸,依此类推.这是因为A系列纸张的长宽比为:1这一特殊比例,所以具备这种特性.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈
,那么A4纸的长度为( )
A.厘米B.
厘米C.
厘米D.
厘米
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