【题目】设函数,.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3),求函数在区间上的最小值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)由题意求出由题意得,且解该方程组即可求出的值;(2)把代入化简,并求出,利用导数求出单调性和极值,由函数在内有两零点列出不等式组,求出不等式的解集可得的取值范围.
(3)表示出,并求出,利用导数求出单调性和极值点,按照在区间内没有极值点,一个极值点,两个极值点分类讨论,结合图象及函数的单调性即可求得其最小值.
(1),,
由线与曲线在它们的交点处具有公共切线,
,,
即,
解得.
(2),
,
,
令,得,,
极小值 |
在内恰有2个零点,
,即,
解得,
因此a的取值范围是.
(3)
令,解得,
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
①当,即时,,
在和单调递增,
在上单调递减,
,
,
当时,,,
当时,,.
②,即,
在上单调递减,
.
③,即,
在上单调递减,
在单调递增,
.
综上所述,.
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【题目】直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为( ).
A.0B.C.-1D.+1
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【题目】某中学根据学生的兴趣爱好,分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团,据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、,己知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且.
(1)求与的值;
(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分,对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分,对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
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【题目】已知函数,有下列说法:
①函数对任意,都有成立;
②函数在上单调递减;
③函数在上有3个零点;
④若函数的值域为,设是中所有有理数的集合,若简分数(其中,为互质的整数),定义函数,则在中根的个数为5;
其中正确的序号是______(填写所有正确结论的番号).
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【题目】某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足(其中, 为正常数),现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
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【题目】2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其中能够组成孪生素数的概率是
A. B. C. D.
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【题目】如图,在四棱锥中,四边形为梯形, ,且, 是边长为2的正三角形,顶点在上的射影为点,且, , .
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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