Question

已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|x²-2|．
（1）若k=1，直线与曲线恰有三个公共点，求实数b的值；
（2）若b=1，直线与曲线M的交点依次为A，B，C，D四点，求(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分两种情况：①直线y=x+b与抛物线y=-x²+2在（-

2

，

2

）内相切；②直线y=x+b过点（-

2

，0），即可确定实数b的值；
（2）根据直线y=kx+1与曲线M有四个交点确定k的范围，由

y=x2-2 y=kx+1

(|x|≥

2

)，计算|AD|；由

y=-x2+2 y=kx+1

(|x|＜

2

)，计算|BC|，利用(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)=(

AD

-

BC

)•(

AD

+

BC

)=|

AD

|2-|

BC

|2，即可求得结论．

解答：解：（1）分两种情况：
①直线y=x+b与抛物线y=-x²+2在（-

2

，

2

）内相切，即方程x²+x+b-2=0在（-

2

，

2

）内有△=0，
由△=1-4b+8=0，得b=

9

4

，符合．
②直线y=x+b过点（-

2

，0），即0=-

2

+b，得b=

2

．
综上知，b=

9

4

或b=

2

（2）根据直线y=kx+1与曲线M有四个交点可得-

2

2

＜k＜

2

2

由

y=x2-2 y=kx+1

(|x|≥

2

)，得x²-kx-3=0，
则有：|AD|=

(k2+1)(k2+12)

，其中-

2

2

＜k＜

2

2

．
由

y=-x2+2 y=kx+1

(|x|＜

2

)，得x²+kx-1=0，
则有：|BC|=

(k2+1)(k2+4)

，其中-

2

2

＜k＜

2

2

．
所以(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)=(

AD

-

BC

)•(

AD

+

BC

)=|

AD

|2-|

BC

|2
=（k²+1）（k²+12）-（k²+1）（k²+4）=8（k²+1），
∵-

2

2

＜k＜

2

2

，∴8（k²+1）∈[8，12），
∴(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)∈[8，12)

点评：本题考查带绝对值的函数，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，正确转化是关键．