Question

已知n是正整数，在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，在数列{b_n}中，b₁=a₁，
当n≥2时，

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）求

bn+1

an+1

-

bn+1

an

的值：
（III）当n≥2时，证明：

(b1+1)(b2+1)…(bn+1)

b1b2…bn

＞3-

2

2n

．

Answer 1

分析：（I）将a_n+1=2a_n+1两端同加上1，整理，构造出等差或等比数列，进行解决．
（II）根据已知写出

bn+1

an+1

的表达式，再考虑作差．注意对n=1的讨论．
（III）将

(b1+1)(b2+1)…(bn+1)

b1b2…bn

变形为

1

b1

•

b1+1

b2

•

b2+1

b3

…

bn-1+1

bn

•

bn+1

bn+1

•bn+1，除首尾两项外，中间项根据（Ⅱ）的结果，进行代换，同时要注意放缩法在过程中适时、适当的适用．

解答：解：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
    两边同加1得，a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1
 （II）∵

b2

a2

=

1

a1

=1，b₁-a₁=1
∴

b2

a2

-

b1+1

a1

=-1
∴当n=1时，

bn+1

an+1

-

bn+1

an

=-1
 当n≥2时，
∵

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

∴

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

=

bn

an

+

1

an

=

bn+1

an

∴

bn+1

an+1

-

bn

an

=0
综上所述，当n=1时

bn+1

an+1

-

bn+1

an

=-1
当n≥2时

bn+1

an+1

-

bn+1

an

=0．
（III）由（II）知：b₁=a₁=1，

b2

a2

=

1

a1

=1，即b₂=a₂=3．
当n≥2时，

bn+1

an+1

-

bn+1

an

=0，即

bn+1

bn+1

=

an

an+1

∴当n≥2时，

(b1+1)(b2+1)…(bn+1)

b1b2…bn

=

1

b1

•

b1+1

b2

•

b2+1

b3

…

bn-1+1

bn

•

bn+1

bn+1

•bn+1
=

1

b1

•

b1+1

b2

•

a2

a3

•

a3

a4

…

an-1

an

•

an

an+1

• bn+1
=

1

b1

•

b1+1

b2

• a2• 

bn+1

an+1

=2×

bn+1

an+1

=2×（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）
=2×（1+

1

22-1

+…+

1

2n-1

）
＞2（1+

1

22

+…+

1

2n

）
=2[1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

]=3-

2

2n

．
∴当n≥2时，

(b1+1)(b2+1)…(bn+1)

b1b2…bn

＞3-

2

2n

．

点评：本题考查等比数列的定义，通过对递推式变形，构造出特殊的数列来解决问题的能力，计算能力，以及分析问题解决问题的能力．（I）的两边加一个合适的常数的方法适用于形如：已知a_n+1=pa_n+q（pq≠0），求a_n．（III）虽

(b1+1)(b2+1)…(bn+1)

b1b2…bn

的分子分母具有明显的对应特征，但若把目光放在对

bk+1

bk

（k=1，2，…，n）的处理上，则使问题脱离已经挖掘出的新信息（Ⅱ），走向偏离．因此本题同时要求获取信息，灵活综合分析解决问题的能力．