Question

 [2012·四川卷] 如图1－5，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．

(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

(2)求二面角B－AP－C的大小．

图1－5

Answer 1

解：解法一：

(1)连结OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．

设AB的中点为D，连结PD、CD.

因为AB＝BC＝CA，所以CD⊥AB.

因为∠APB＝90°，∠PAB＝60°，所以△PAD为等边三角形．

不妨设PA＝2，则OD＝1，OP＝，AB＝4.

所以CD＝2，OC＝＝＝.

在Rt△OCP中，tan∠OCP＝＝＝.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan.

(2)过D作DE⊥AP于E，连结CE.

由已知可得，CD⊥平面PAB.

根据三垂线定理知，CE⊥PA.

所以∠CED为二面角B－AP－C的平面角．

由(1)知，DE＝.

在Rt△CDE中，tan∠CED＝＝＝2.

故二面角B－AP－C的大小为arctan2.

解法二：

(1)设AB的中点为D，连结CD.

因为O在AB上，且O为P在平面ABC上的射影，

所以PO⊥平面ABC.

所以PO⊥AB，且PO⊥CD.

由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.

设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB.

如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.

不妨设PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝，CD＝2.

所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，C(1,2，0)，P(0,0，)．

所以＝(－1，－2，)，而＝(0,0，)为平面ABC的一个法向量，

设α为直线PC与平面ABC所成的角，

则sinα＝＝＝.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arcsin.

(2)由(1)有，＝(1,0，)，＝(2,2，0)，

设平面APC的一个法向量为n＝(x₁，y₁，z₁)，则

⇔⇔

从而

取x₁＝－，则y₁＝1，z₁＝1，所以n＝(－，1,1)．

设二面角B－AP－C的平面角为β，易知β为锐角．

而面ABP的一个法向量为m＝(0,1,0)，则

cosβ＝＝＝.

故二面角B－AP－C的大小为arccos.