Question

f（x）的定义域为R，且f（x）=

2-x-1     (x≤0) f(x-1)   (x＞0)

，若方程f（x）=x+a有两不同实根，则a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，1]
• C、（0，1）
• D、（-∞，+∞）

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式，我们易分析出函数的图象在Y轴右侧呈周期性变化，结合函数在x≤0时的解析式，我们可以画出函数的像，根据图象易分析出满足条件的a的取值范围．

解答：解：x≤0时，f（x）=2^-x-1，
0＜x≤1时，-1＜x-1≤0，
f（x）=f（x-1）=2^-（x-1）-1．
故x＞0时，f（x）是周期函数，如图，
欲使方程f（x）=x+a有两解，
即函数f（x）的图象与直线y=x+a有两个不同交点，
故a＜1，则a的取值范围是（-∞，1）．
故选A

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据函数的解析式，分析函数的性质，并画出函数的图象是解答本题的关键．