Question

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有2f（x）+f（-x）+2^x=0成立，
（1）试求f（x）的解析式； 
（2）试讨论f（x）在R上的单调性，并用定义予以证明．

Answer 1

分析：（1）把2f（x）+f（-x）+2^x=0中的x换为-x可得2f（-x）+f（x）+2^-x=0，联立两式可求得f（x）；
（2）利用函数单调性的定义可作出判断证明；

解答：解：（1）由2f（x）+f（-x）+2^x=0①，
得2f（-x）+f（x）+2^-x=0②，
联立①②可解得f（x）=

1

3

(2-x-2x+1)，
∴f（x）=

1

3

(2-x-2x+1)；
（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

3

(2-x1-2x1+1)-

1

3

(2-x2-2x2+1)
=

1

3

[（

1

2x1

-

1

2x2

）+2（2x2-2x1）]
=

1

3

(2x2-2x1)（

1

2x1+x2

+2），
又x₁0，

1

2x1+x2

+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定义域R上单调递减．

点评：本题考查函数解析式的求解及单调性的判断，定义是证明函数单调性的基本方法，若已知条件为关于f（x）和f（-x）的表达式，则可通过构造方程求解析式