Question

已知数列{a_n}满足关系式，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据递推公式，计算即可．
（2）是个与自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法．
（3）在（2）的基础上，将从分母有理化，放缩两个角度适当变形，考虑正负相消，使两端和式出现命题中的形式．
解答：解：（Ⅰ）由题意，知，，．…（3分）
（Ⅱ）由，及a₁=2，知a_n＞0．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=2满足，成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，成立，则
当n=k+1时，.．
下面用分析法证明：．
只需证，只需证，
只需证，只需证，此式显然成立．
所以成立．从而．
由（1），（2）可知，对一切k∈N^*，成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知，
而


∴
∴
即
点评：本题考查数列的递推公式的直接应用，数学归纳法，及放缩法证明不等式．无法再进一步计算整理，故考虑逐项转化，达到目的为止．