Question

3．对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f（x）=$\frac{2tanx+t}{tanx+1}$（0＜x＜$\frac{π}{2}$）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [1，4]
• B． [1，2]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 根据“可构造三角形函数”的定义，判断函数的单调性，转化为f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t-2的符号决定，利用分式的性质讨论函数的单调性进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2tanx+t}{tanx+1}$=$\frac{2（tanx+1）+t-2}{tanx+1}$=2+$\frac{t-2}{tanx+1}$，
①若t=2，则f（x）=2，此时f（x）构成边长为2的等边三角形，满足条件，
设m=tanx，则m=tanx＞0，
则函数f（x）等价为g（m）=2+$\frac{t-2}{m+1}$，
②若t-2＞0即t＞2，此时函数g（m）在（0，+∞）上是减函数，
则2＜f（a）＜2+t-2=t，
同理2＜f（b）＜t，2＜f（c）＜t，
则4＜f（a）+f（b）＜2t，2＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 4≥t，解得2＜t≤4．
③当t-2＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜2，
同理t＜f（b）＜2，t＜f（c）＜2，
则2t＜f（a）+f（b）＜4，t＜f（c）＜2，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥2，解得1≤t＜2．
综上可得，1≤t≤4，
故实数t的取值范围是[1，4]；
故选：A

点评 本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，综合性较强，难度较大．