Question

某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设a_n为n年后该地区森林木材的存量．
（1）求a_n的表达式；
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于

7

9

a，如果b=

19a

72

，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）

Answer 1

分析：（1）要求出a_n的表达式，主要思路是求出前几项然后观察规律，从而推出得出a_n的表达式，求解即可
（2）只需代入b=

19a

72

，化简后的指数式转化利用对数的运算即可顺利解答．

解答：解：（1）设第一年的森林的木材存量为a₁，
第n年后的森林的木材存量为a_n，
则a1=a(1+

1

4

)-b=

5

4

a-b，a2=

5

4

a1-b=(

5

4

)2a-(

5

4

+1)b，a3=

5

4

a2-b=(

5

4

)3a-[(

5

4

)2+

5

4

+1]b，
所以an=(

5

4

)na-[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+1]=(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]b(n∈N*)．
（2）当b=

19

72

a时，有an＜

7

9

a得(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]×

19

72

a＜

7

9

a即(

5

4

)n＞5，
所以，n＞

lg5

lg5-2lg2

=

1-lg2

1-3lg2

≈7.2．
答：经过8年后该地区就开始水土流失．

点评：本题的背景较为熟悉，所用的知识是递推数列的概念，函数思想．严格意义上说，由a₁，a₂，得出a_n的表达式，需要证明，但此处的应用问题主要是求出即可，证明大可不必．解答（2）直接代入化简即可，要解答(

5

4

)n＞5，转化为对数的运算是解答本题的关键，两边取常用对数可解答．