Question

（2013•哈尔滨一模）已知函数f（x）=e^x+x，g（x）=ax+b（a＞0），若对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a，b的取值范围是（　　）

• A．0＜a≤

  e2+1

  2

  ，b≥1
• B．0＜a≤

  e2+1

  2

  ，b≤1
• C．a≥

  e2+1

  2

  ，b≥1
• D．a≥

  e2+1

  2

  ，b≤1

Answer 1

分析：对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），等价于x∈[0，2]时f（x）的值域为g（x）值域的子集，利用单调性求得两函数的值域，由集合的包含关系可得不等式，解出即可．

解答：解：因为f′（x）=e^x+1＞0，所以f（x）在[0，2]上递增，
所以x∈[0，2]时，f（0）≤f（x）≤f（2），即1≤f（x）≤e²+2，
由a＞0得g（x）=ax+b在[0，2]上递增，
所以x∈[0，2]时，g（0）≤g（x）≤g（2），即b≤g（x）≤2a+b，
又对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
所以有[1，e²+2]⊆[b，2a+b]，则

b≤1 2a+b≥e2+2

，
由e²+2-2a≤b≤1得，a≥

e2+1

2

，
故选D．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数单调性的应用，考查恒成立问题，本题中对恒成立问题的等价转化是解决问题的关键．