Question

已知向量

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），其中（0＜ω＜2）．函数f(x)=

a

•

b

-

1

2

，其图象的一条对称轴为x=

π

6

．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(

A

2

)=1，b=l，S_△ABC=

3

，求BC边上的中线AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积运算法则，由两向量的坐标，化简函数f（x）的解析式，分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由x=

π

6

为函数的一条对称轴，把x=

π

6

代入化简后的函数解析式中，令其值等于±1，得到正弦函数的角度等于kπ+

π

2

，由ω的范围，即可求出ω的值，确定出函数f（x）的解析式，根据正弦函数的单调递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出关于x的不等式，求出x的范围即可得到函数的单调递增区间；
（2）由f(

A

2

)=1，代入函数解析式得到sin（A+

π

6

）=1，根据A的范围求出A+

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由sinA，b的值，以及三角形的面积，利用面积公式求出c的值，如图，延长AD到E，使AD=DE，连接BE，EC，则四边形ABEC为平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，得到邻角互补，根据∠BAC的度数求出∠ABE的度数，且得到BE=AC=b，AB=c，在三角形ABE中，利用余弦定理求出AE的长，根据平行四边形的对角线互相平分，即D为AE中点，由AE的长除以2即可得到AD的长．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

-

1

2

=cos²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），（3分）
当x=

π

6

时，sin（

ωπ

3

+

π

6

）=±1，即

ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，
∵0＜ω＜2，∴ω=1，（5分）
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；（7分）
（2）∵f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）=1，在△ABC中，0＜A＜π，则

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

π

2

，则A=

π

3

，
由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，b=1，得c=4，（9分）

如图，延长AD到E，使AD=DE，连接BE，EC，
则四边形ABEC为平行四边形，
∴∠ABE=

2π

3

，AB=4，BE=1，
∴AE²=AB²+BE²-2AB•BEcos

2π

3

=21，
∴AD=

AE

2

=

21

2

．（12分）

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的周期性及单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．