Question

【题目】已知函数，（ ， ）.

（1）若， ，求函数的单调减区间；

（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）当， 时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证： .

Answer 1

【答案】(1) (2) ;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）代入， 时，得到，求得，即可求解函数的单调区间；

（2）把不等式在上恒成立，转化为在区间上恒成立，令，利用导数求得函数的最小值，即可求解实数的取值范围.

（3）方法一：求得，得， 是方程的两个根，即，

化简，令，利用导数求得的最小值，即可证明结论；

试题解析：

（1）由题意： ， ， 时，

所以

令，得，因为，所以或

所以的单调减区间为.

（2）时， ，

不等式在上恒成立即为： 在区间上恒成立

令，则，令得： ，

因为时， ， 时， ，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以，所以.

（3）方法一：因为，所以，从而（）

由题意知， ， 是方程的两个根，故.

记，则，因为，所以

，所以， ，且（， ）.

因为，所以， .

令， .

因为，所以在单调递增，

所以，即.

方法二：因为，所以，从而（）.

由题意知， ， 是方程的两个根.记，则，

因为，所以， ，

所以， ，且在上为减函数.

所以.

因为，故.