【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点F1 , F2在轴上,焦距为2,离心率为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P是椭圆C上第一象限内的点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,半径为 .求:
(i)点P的坐标;
(ii)直线PI的方程.
【答案】
(1)解:设椭圆C的方程为 ,(a>b>0),
由题意得 ,
解得a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为 .
(2)解:(i)∵|PF1|+|PF2|=4,∴在△PF1F2中,|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6,
∴△PF1F2的面积 =
(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=
,
又 =
,
∴ ,由
,得xP=1,∴P(1,
).
(ii)∵P(1, ),F1(﹣1,0),∴直线PF1的方程为
=
,
∴3x﹣4y+3=0,
∵△PF1F2的内切圆的半径为 ,∴设I(
),
则 =
,
解得 或
(舍).
∴直线PI的方程为y=2x﹣ .
【解析】(1)设椭圆C的方程为 ,(a>b>0),由焦距为2,离心率为
,列方程组解得a2=4,b2=3,由此能求出椭圆C的方程.(2)(i)由|PF1|+|PF2|=,得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6,利用△PF1F2的面积能求出P点坐标.(ii)先求出直线PF1的方程,设I(
),由点到直线的距离公式能求出直线PI的方程.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
).
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【题目】若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
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【题目】下面给出一个用循环语句编写的程序:
k=1
sum=0
WHILE k<10
sum=sum+k∧2
k=k+1
WEND
PRINT sum
END
(1)指出程序所用的是何种循环语句,并指出该程序的算法功能;
(2)请用另一种循环语句的形式把该程序写出来.
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【题目】(本小题满分14分)
已知函数(
为常数)的图像与
轴交于点
,曲线
在点
处的切线斜率为
.
(1)求的值及函数
的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在
,使得当
时,恒有
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,当x=
时,y最大值1,当x=
时,取得最小值-1
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)写出此函数取得最大值时自变量x的集合和它的单调递增区间.
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【题目】已知命题p:x∈(1,+∞), >1;命题q:a∈(0,1),函数y=ax在(﹣∞,+∞)上为减函数,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬p∧¬q
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【题目】如图所示,已知椭圆:
的长轴为
,过点
的直线
与
轴垂直,椭圆
上一点与椭圆
的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2) 设是椭圆
上异于
,
的任意一点,连接
并延长交直线
于点
,
点为
的中点,试判断直线
与椭圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,上顶点为
,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:
与椭圆
相交于不同的两点
,
,
是线段
的中点.若经过点
的直线
与直线
垂直于点
,求
的取值范围.
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【题目】已知函数,(
,
).
(1)若,
,求函数
的单调减区间;
(2)若时,不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当,
时,记函数
的导函数
的两个零点是
和
(
),求证:
.
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