Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）是首项为a₁，公比为q的等比数列．
（1）求和：①a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²；②a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；③a₁C₄⁰-a₂C₄¹+a₃C₄²-a₄C₄³+a₅C₄⁴；
（2）根据（1）求得的结果，试归纳出关于正整数n的一个结论（不需证明）；
（3）设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，求：S₁C_n¹-S₂C_n²+S₃C_n³-S₄C_n⁴+…+（-1）^n-1S_nC_nⁿ．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式，将a_n都用首项和公式 q表示，再利用二项式定理进行化简即可；
（2）观察（1）的特点，发现它们的结果都可能写成a₁（1-q）ⁿ的形式，故得出：a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²++（-1）ⁿ⁺¹a_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ（n∈N^*）．
（3）对等比数列的公比q分类讨论：①当q=1时，S_n=na₁，②当q≠1时，再分别进行化简证明即得．

解答：解：（1）∵{a_n}成等比数列，
∴a_n=a₁q^n-1，
∴①a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²=a₁C₂⁰-a₁C₂¹q+a₁C₂²q²=a₁（1-q）²；（2分）
②a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³=a₁C₃⁰-a₁C₃¹q+a₁C₃²q²-a₁C₃³q³=a₁（1-q）³；（3分）
③a₁C₄⁰-a₂C₄¹+a₃C₄²-a₄C₄³+a₅C₄⁴=a₁C₄⁰-a₁C₄¹q+a₁C₄²q²-a₁C₄³q³+a₁C₄⁴q⁴=a₁（1-q）⁴．（4分）
（2）由（1）可归纳得a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²++（-1）ⁿ⁺¹a_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（3）①当q=1时，S_n=na₁，
则Sk

C

k n

=ka1

C

k n

=a1•k•

n!

k!(n-k)!

=n•a1•

(n-1)!

(k-1)!(n-k)!

=na1

C

k-1 n-1

，（8分）
∴S₁C_n¹-S₂C_n²+S₃C_n³-S₄C_n⁴++（-1）^n-1S_nC_nⁿ
=na₁（C_n-1⁰-C_n-1¹+C_n-1²++（-1）^n-1C_n-1^n-1）=na₁（1-1）^n-1=0；（11分）
②当q≠1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
则Sk

C

k n

=

a1

1-q

C

k n

-

a1

1-q

C

k n

qk，（13分）
∴S₁C_n¹-S₂C_n²+S₃C_n³-S₄C_n⁴++（-1）^n-1S_nC_nⁿ
=

a1

1-q

[(

C

1 n

-

C

2 n

++(-1)n-1

C

n n

)-(

C

1 n

q-

C

2 n

q2++(-1)n-1

C

n n

qn)]
=

a1

1-q

[-(

C

0 n

-

C

1 n

+

C

2 n

++(-1)n

C

n n

)+(

C

0 n

-

C

1 n

q+

C

2 n

q2++(-1)n

C

n n

qn)]
=

a1

1-q

(1-q)n．

点评：本小题主要考查组合及组合数公式、等比数列的性质、等比数列的前n项和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．