Question

（1）求（1+2x）⁷展开式中系数最大项；
（2）求（1-2x）⁷展开式中系数最大项．

Answer 1

分析：（1）本题要求二项式中系数最大的项，设出第r+1项系数最大，则这一项不小于它的前一项且不小于它的后一项，列出不等式组，解不等式组，根据r是正整数得到结果．
（2）本题要求二项式中系数最大的项，展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，只需比较T₅和T₇两项系数大小即可．

解答：解：（1）设第r+1项系数最大，则有

C r 7 •2r≥ C r+1 7 •2r+1 C r 7 •2r≥ C r-1 7 •2r-1

，
即

7! r!(7-r)! ≥2• 7! (r+1)!(6-r)! 2• 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(8-r)!

，
即

r+1≥2(7-r) 2(8-r)≥r

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

且0≤r≤7，r∈Z，
∴r=5．
∴系数最大项为T₆=C₇⁵•2⁵•x⁵=672x⁵；
（2）展开式共有8项，系数最大项必为正项，
即在第一、三、五、七这四项中取得，
故系数最大项必在中间或偏右，
∴只需比较T₅和T₇两项系数大小即可．
∵T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴，T₇=C₇⁶（-2）⁶x⁶=448x⁶，
∴系数最大的项是第五项为T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴．

点评：本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．